Bivariační analýza (dvourozměrné distribuce)

Vzorečky na statistiku#Binomický rozdělovací vzorec

rozdělení dvou prom., třídění druhého stupně (druhostupňové třídění)
sledování vztahů dvou prom. (vztah výšky a váhy, finančního ohodnocení a spokojenosti v práci, únavy a výkonu)
Typy vztahů: shoda, protiklad, nezávislost

Shoda

pozitivní souvislost - nízké hodnoty jedné se potkávají s nízkými hodnotami druhé, podobné potkávání u vysokých hodnot

Protiklad

negativní souvislost - nízké s vysokými a naopak

Nezávislost

neexistenci souvislosti - nepozorujeme pravidelnost

Možnosti zpracování

Tabulkové (kontingenční), krostabulace
Grafické znázornění - bodový graf
Numerické charakteristiky - korelační a kontingenční koeficienty

Tabulkové zpr.

nezávislá a závislá prom
Nejčastěji bývá závislá nalevo v řádcích a nezávislá (vysvětlující) ve sloupcích

Osobní pohoda	muž	žena	Sum
1 nespokojen	5 (41%)	2 (22%)	7
2	5 (41%)	1 (11%)	6
3 spokojen	2 (16%)	6 (66%)	8
Sum	12 (100%)	9 (100%)	21

Interpretace tabulek

závislá - ovlivňována, způsobována (nejčastěji v řádcích)
nezávislá - ovlivňuje, vysvětluje závislou (sloupce)

Pozor

Směr kauzality je vždy věcí teorie, nelze ji určit z dat samotných

Explanační interpretace dvourozměrné tabulky

osoby rozdělíme do podskupin podle úrovní nezávislé proměnné (muži/ženy)
Každá podsk. popsána podle hodnot proměnné (např. osobní pohoda)
Tabulku čteme tak, že porovnáváme navzájem podskupiny nezávislé proměnné (muži/ženy) podle hodnot závislé proměnné (osobní pohoda). Smysluplné je porovnávat distribuce napříč kategoriemi nezávislé proměnné

Relativní četnosti

Rela. Řádkové četn. poměr hodnoty v políčku a součtu řádku násobený 100. Součet v každém řádku reprezentuje 100%
Sloupcové - poměr hodnoty v políčku a součtu sloupce násobený 100. Součet v každém sloupci reprezentuje 100 %
Relativní celkové četnosti = poměr hodnoty v políčku a celkového součtu násobený 100

Souvislost znaků v tabulce (dvě závislé proměnné)

Seskupení vysokých hodnot na diagonále tabulky naznačuje, že existuje souvislost mezi prom. (o závislých pro.)
Souvislost může mít i jinou formu, např. v každém sloupci jsou pozorování nahromaděna do jediného pole, jehož pozice je pro každý sloupec jiná

Korelace

vztah (souvislost, asociace) mezi dvěma proměnnými, jejichž hodnoty jsou uspořádány ve dvojicích

Neznámá sama o sobě příčinný (kauzální) vztah!
Sílu tohoto vztahu určuje korelační koeficient (napč. Pearson, Spearman, Kendall)
Umožňuje odvodit procento společné variability
Dvě proměnné (označují se X a Y ) - ptáme se, zda jsou nezávislé, nebo existuje mazi nimi souvislost (korelace) a jak je silná
Součinový korelační koeficient (Pearson) r
Pořadový korelační koeficient (Spearman) r_s 𝛒 (ró)
Kendallovo $τ$ (tau)

Korelační koeficient

Určuje stupeň vztahu mezi dvěma proměnnými. Je vyjadřován číslem s hodnotou mezi 0 a 1 (resp. 0 až -1). Žádný vztah znamená 0. ´plná kladní závislost je 1. Úplná záporná je -1
S růstem hodnoty r od 0 k 1 (nebo -1) se míra těsnosti vztahu zvyšuje
Hodnota korelačního koeficientu mezi výsledky dosaženými v prvním roce studia na univerzitě a výsledky v ročníku druhém je 0,75. Tento výsledek ukazuje na kladnou a těsnou (silnou) závislost)
hodnoty k. koe. od 0,1 do 0,3 znamenají slabý vztah proměnných
hodnoty nad 0,3 až 0,6 středně silný vztah
hodnoty nad 0,6 silný vztah dvou proměnných
Uvedené platí jak pro kladné tak záporné hodnoty korelací

Interpretace hodnot korelačního koeficientu v sociálních vědách (detailnější členění)

0,01 - 0,09 triviální, žádná
0,10 - 0,29 nízká až střední
0,30-0,49 střední až podstatní
0,50-0, 69 podstatná až velmi silná
0,70 - 0,89 velmi silná
0,90 - 0,99 téměř perfektní

Důležité vlastnosti korelačního koeficientu

Platí -1 -< r -< +1
Jestliže |r| = 1, leží všechny body na přímce
Jestliže r = 0, nazýváme X a Y nekorelované proměnné. Dvě náhodné proměnné jsou tím více korelovány, čím blíže je hodnota r k číslům +1 nebo -1. V tom případě lze vztah obou proměnných dobře vyjádřit

Druhou mocninou koeficientu korelace je koeficient determinace, jeho stonásobek udává, z kolika procent jsou změny hodnoty závisle proměnné Y vysvětlovány hodnotami nezávisle proměnné (proměnných), tj. vypočtenou regresní funkcí.
Stupnice těsnosti závislosti podle koeficientu determinace je zhruba takto:
r² < 10 %těsnost nízká
10 % r² < 25 %těsnost mírná
25 % r² < 50 %těsnost význačná
50 % r² < 80 %těsnost velká
80 % r² těsnost velmi vysoká

Statistika na první test

Pearsonův

popisuje lineární vztah mezi dvěma kvantitativními proměnnými.

předpoklady, které musí data splňovat, pokud chcete použít Pearsonovo r:

Obě proměnné jsou na intervalové nebo poměrové úrovni měření
Data z obou proměnných mají normální rozdělení
Vaše data nemají žádné odlehlé hodnoty
Vaše data pocházejí z náhodného nebo reprezentativního vzorku
Očekáváte lineární vztah mezi dvěma proměnnými

je parametrický test, takže má vysoký výkon

Ale není to dobré měřítko korelace, pokud mají proměnné nelineární vztah nebo pokud data mají odlehlé hodnoty, zkreslená rozdělení nebo pocházejí z kategorických proměnných

Vzorec
$r = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$

Statistika na první test

Spermanův

nejběžnější alternativou k Pearsonově

Je to korelační koeficient pořadí, protože používá pořadí dat z každé proměnné (např. od nejnižší po nejvyšší) spíše než samotná nezpracovaná data

Spearmanův byste měli použít, když vaše data nesplňují předpoklady Pearsonova

K tomu dochází, když je alespoň jedna z vašich proměnných na ordinální úrovni měření nebo když data z jedné nebo obou proměnných nesledují normální rozdělení.

Zatímco Pearsonův korelační koeficient měří linearitu vztahů, Spearmanův korelační koeficient měří monotónnost vztahů

V lineárním vztahu se každá proměnná mění v jednom směru stejnou rychlostí v celém rozsahu dat

V monotónním vztahu se také každá proměnná vždy mění pouze jedním směrem, ale ne nutně stejnou rychlostí.

Pozitivní monotónní: když se jedna proměnná zvyšuje, zvyšuje se i druhá.
Negativní monotónní: když se jedna proměnná zvyšuje, druhá klesá.

Vzorec:
Základní
$ρ = 1 - \frac{6 \sum (x_{i} - y_{i})^{2}}{n (n^{2} - 1)}$
Upravený o diviaci $d_{i}$ - rozdíl mezi x a y
$\rho = 1 - \frac{6\sum (d_i)^2}

$P r o f a j n š m e k r y, k o m p l e t n ě u p r a v e n ý$ \rho = 1 - \frac{6\sum (d_i)^2}{n^{3}-n}
$

Statistika na první test

Kendalův

měří vztah mezi dvěma sloupci seřazených dat
není potřeba aby data byla normálně rozdělena

Vzorec
C - konrodtantní, +, jsou větší, souhlasné páry
D - diskonkordatní, -, jsou měnší, nesouhlasné páry

$τ = \frac{C - D}{C + D}$

Příklad

Dva učitelé seřadí 12 svých žáků od nejhoršího po nejlepšího. Máme dva sloupce hodnocených dat, je vhodné použít Kendalla
Budeme se dívat pouze na pozice u Učitele dva.

Hráč	Učitel 1	Učitel 2
Aj	1	1
Ben	2	2
Ellito	3	3
Conner	4	5
Duane	5	4
Frank	6	7
Greg	7	6
Hank	8	8
Isaiah	9	10
Jim	10	9
Kurt	11	11
Luke	12	12

Řešení

Od prvního hráče, o kolik pozic pod ním jsou větší. Pod 1 je 11 větších - konkordantních.
Pod dvojkou je 10 větších.
Takhle pro všechny hráče až k nule
Diskorkodantní kolik pozic je menších. Pokud není žádný tak píšeme nulu.
Suma C 63
Suma D 3
Kendallovo Tau = 0,909

Regresní a korelační analýza

zkoumání a hodnocení závislostí mezi kvantitativními (metrickými) statistickými
znaky, zpravidla označovanými jako proměnné.
volné (statistické) závislosti, které v biologickém, sociálně-vědním i ekonomickém výzkumu
téměř výhradně převládají.

Volnou (nebo statistickou) závislostí rozumíme takový vztah
proměnných, kdy stejné hodnotě Xi nezávisle proměnné X při
opakovaném měření neodpovídá vždy shodná hodnota závisle
proměnné Y, ale celé pole rozdílných hodnot proměnné Y.
Se změnou hodnot nezávisle proměnné X (event. proměnných XI,
Xk) se mění i úroveň hodnot (tj. střed pole hodnot) závisle proměnné Y.

Při regresní a korelační analýze prakticky vždy
řešíme dvě základní úlohy:
Změřit těsnost zkoumané závislosti, tzv. korelaci.
Vyjadřujeme a hodnotíme ji podle vypočtených hodnot
charakteristik korelace a determinace.
Zjistit a vhodně vyjádřit průměrný průběh závislosti, tzv.
regresi. Vyjadřujeme ji výpočtem parametrů vhodné
regresní funkce.

Protože regresní a korelační analýzu provádíme téměř vždy
s daty naměřenými na výběrovém souboru statistických
jednotek, je možno považovat získané výsledky pouze za
odhady pro shodné závislosti v základním (populačním)
souboru.